のみ説というのは、相続人が他にはいませんよということを証明する必要があるという考え方を言います。
一方、非のみ説というのは、相続人は他にいるかもしれませんが、証明する必要があるのは、それに文句を言う側ですよとい考え方です。
裁判所は非のみ説に立っており、法務局はのみ説に立っています。

法務局での相続による名義変更登記は、他に相続人がいないことの資料提供を求められます。
基本的には、亡くなった方の一生分近くの戸籍謄本と相続人の生存を証明する戸籍謄抄本が必要となります。
ところが、戸籍は、保存期間経過や戦争などで、全て現存していないことがあります。
そのような場合、かつては、これを補強する為に権利証を付けた上、現状の戸籍で証明できる相続人全員から「他に相続人はいません」という書面（印鑑証明書付き）を提出することで登記を通すということになっていました。

とろこが、この扱いについては、法務省から、戸籍はこれ以上出ないと役所が言っているんだから、相続人全員からの上申書はいらんわという通達が出ました。
従って、のみ説による相続登記は事実上緩和された運用になりました。

なお、この通達は「戸籍」がもうないと役所が言っているならという話ですので、そもそも戸籍がないような場面では、やはり相続人全員からの上申書が求められます。外国の方がいらっしゃるような場合です。（諸外国は戸籍制度がない為。）